02032 高等數學（三）

高綱0873江蘇省高等教育自學考試大綱02032　　高等數學（三）　　　　　　　　　　　　　　　江蘇教育學院編江蘇省高等教育自學考試委員會辦公室 一、課程性質、目的 本課程是為物理學專業學生開設的必修課。內容涉及線性代數、矢量分析、場論、概率論的基本理論和方法，通過本課程的教學，應達到如下目的和要求： 1.系統地講授線性代數、矢量分析、場論、概率論的基本理論和方法，為學生學習后續物理專業課程提供扎實的數學基礎 2.重視講授內容與相關物理問題相結合，提高學生運用所學的數學知識分析實際物理問題的能力 二、考試內容、要求 第一部分 《矢量分析與場論》 第一章矢量分析 一．要求： 1．了解矢性函數的概念。 2．熟練掌握矢性函數的求導、不定積分、定積分的基本運算規律。 3．理解導矢的幾何意義。 二．考試內容 1．矢性函數的導數。 2．矢性函數的不定積分。 3．矢性函數的定積分。 第二章場論 一．要求 1．理解數量場的等值面概念，掌握求等值面方程的方法。 2．理解矢量場的矢量線概念，掌握求矢量線方程的方法。 3．理解方向導數的概念。 4．理解梯度的概念，熟悉梯度的性質及基本公式。 5．理解通量的概念，會求通量。 6．理解散度的概念，熟練掌握散度運算的基本公式。 7．理解環量的概念，會求環量。 8．理解環量面密度的概念。 9．理解旋度的概念，熟悉旋度與環量面密度之間的關系，掌握旋度運算的基本公式。 10.熟悉有勢場的性質，掌握求勢函數的方法。 11.熟悉管形場的性質，了解求矢勢量的方法。 12.熟悉調和場的性質。 二．考試內容 1．等值面方程、矢量線方程。 2．方向導數與梯度。 3．通量與散度。 4．環量、環量面密度與旋度。 5．有勢場、管形場、調和場。第三章 哈米爾頓算子 一、要求 1熟悉▽算子的性質（①算符性；②矢量性） 2會用▽算子表示梯度、散度、旋度、調和量。 3會利用▽算子導出公式。 二．考試內容 1．利用▽算子導出公式第四章 梯度、散度、旋度與調和量在正交曲線坐標系中的表達式一、 要求 1 知道什么是正交曲線坐標系。 2 知道拉梅系數的表達式。 3 知道在正交曲線坐標系中弧微分、面積元素、體積元素的表示式。 4 熟悉球坐標系和柱坐標系中的拉梅系數。 5 知道球坐標系和柱坐標系中梯度、散度、旋度、調和量的表示式。 二．考試內容 1．球坐標系和柱坐標系中弧微分、面積元素、體積元素的表示式。 2．球坐標系和柱坐標系中梯度、散度、旋度、調和量的表示式。 第二部分《線性代數》 第一章行列式 一．要求 1．知道全排列的奇偶性及逆序數的定義。 2．了解n階行列式的定義。 3．能熟練運用行列式的性質計算行列式。 4．了解代數余子式概念，并能熟練按行（列）展開行列式。 5．熟悉克萊姆法則，并能熟練運用。 二．考試內容 1．求排列的逆序數，判斷排列的奇偶性。 2．n階行列式的運算（包括行列式計算、化簡、降階）。 3．運用克萊姆法則解線性方程組。 第二章矩陣及其運算 一．要求 1．熟悉線性變換與矩陣的對應關系。 2．熟練掌握矩陣運算（加法、數乘、矩陣相乘、轉置、取共軛）的基本性質。 3．熟悉逆矩陣的概念，逆矩陣存在的充要條件，能利用公式求方陣的逆矩陣。 4．知道矩陣分塊法，掌握分塊矩陣的運算規則。 二．考試內容 1．矩陣運算（加法、數乘、矩陣相乘、轉置、取共軛、分塊矩陣運算） 2．求逆陣。 3．利用矩陣運算求線性變換，解線性方程組。 第三章矩陣的初等變換與線性方程組 一．要求 1 理解初等變換的概念 2 理解兩矩陣等價的概念。 3 理解初等方陣的概念 4 了解初等變換與初等方陣的關系。 5 理解矩陣的秩的概念，知道等價矩陣的秩相等 6 掌握利用初等變換求逆陣的方法。 7 熟悉齊次線性方程組有非零解的充要條件。 8 熟悉非齊次線性方程組有解的充要條件。 9 掌握利用初等變換求解線性方程組的方法。 二．考試內容 1 矩陣的秩 2 利用初等變換求逆陣。 3 利用初等變換求解線性方程組 第四章向量組的線性相關性 一．要求 1．理解n維向量的概念。 2．理解向量組的線性相關性的概念。 3．知道如何判斷向量組的線性相關性。 4．理解兩向量組等價的概念,了解兩者的聯系。 5．理解向量組的秩的概念 6．掌握求向量組的最大無關組的方法。 7 了解什么是向量空間、向量空間的維數、向量空間的基 8 理解齊次線性方程組的解空間的概念。 9 熟悉齊次線性方程組通解的結構。 10 熟悉非齊次線性方程組通解的結構。 二．考試內容 1．判斷向量組的線性相關性。 2．向量組的秩。 3 求向量組最大無關組 4．解齊次線性方程組。 5．解非齊次線性方程組。 第五章相似矩陣及二次型 一．要求 1．了解向量內積的概念，掌握內積的運算規律。 2．了解正交向量組的線性相關性。 3．知道如何將線性無關向量組正交規范化。 4．熟悉正交矩陣的性質，正交變換的特點。 5．熟悉方陣的特征值、特征向量、掌握求特征值、特征向量的方法。 6．知道不同特征值對應的特征向量是線性無關的。 7．知道方陣與它的相似矩陣具有相同的特征值。 8．知道方陣能對角化的充要條件。 9．了解實對稱方陣的性質。 10 知道什么是二次型的標準形，二次型總能化成標準形。 二．考試內容 1．向量的內積。 2．將線性無關向量組正交規范化。 3．正交陣和正交變換。 4．方陣的特征值、特征向量。 5．實對稱方陣的對角化。 第三部分《概率論》 第一章 預備知識 一．要求 1．熟練掌握求排列、組合種數的公式。 2．了解集合的概念。 3．了解集合之間的關系，集合的運算。 4．知道集合中各種符號的含義。 二．考試內容 1．排列、組合問題的應用題。 2．集合之間的關系，集合的運算。 第二章隨機事件 一．要求 1．理解隨機事件的概念。 2．了解事件間的關系及運算。 3．理解基本空間的概念。 二．考試內容 1．事件間的關系及運算。 第三章隨機事件的概率 一．要求 1．熟悉古典概型事件的特征。 2．熟悉概率的古典定義。 3．了解幾何概率的定義。 4．能熟練求出古典概型事件的概率，會求事件的幾何概率。 5．了解有關概率的三條公理，了解概率的一般定義。 6．熟悉概率的基本性質。 二．考試內容 1．求事件的概率。 第四章條件概率、事件的相互獨立性及試驗的相互獨立性 一．要求 1．理解條件概率的概念。 2．熟悉概率的乘法定理。 3．能熟練運用全概率公式。 4．理解事件相互獨立的含義。 5．會用乘法定理判斷兩事件是否相互獨立。 6．能熟練運用乘法定理計算相互獨立事件的積事件的概率。 7．熟悉重復獨立試驗，熟練掌握二項概率公式。 二．考試內容 1．運用全概率公式求概率。 2．求相互獨立事件的積事件的概率。 3．求重復獨立試驗中某試驗結果發生的概率。 第五章一維隨機變量 一．要求 1．理解隨機變量的概念。 2．熟悉一維隨機變量分布函數的基本性質。 3．了解離散型隨機變量的分布密度，掌握由分布密度求事件概率的一般方法。 4．熟悉二項分布，能判斷隨機變量是否服從二項分布，并能求出其分布密度。 5．熟悉泊松分布，能判斷隨機變量是否服從泊松分布，并能求出其分布密度。 6．知道二項式分布與泊松分布之間的聯系。 7．了解連續型隨機變量的分布密度，掌握由分布密度求事件概率的一般方法。8．熟悉正態分布及正態分布密度函數的形式和基本性質。 9．熟悉正態分布與標準正態分布的關系。能熟練求出服從正態分布的隨機變量在某一區間上取值的概率。 二．考試內容 1．求離散型隨機變量的分布函數、分布密度。 2．求離散型隨機變量在某區間上取值的概率。 3．求服從正態分布的隨機變量在某區間上取值的概率。 第六章二維隨機變量 一．要求 1．了解什么是二維隨機變量。 2．了解二維分布密度（包括連續型和離散性）的基本性質。 3．熟悉二維正態分布。 4．了解什么是二維隨機變量的邊緣分布。掌握求隨機變量（包括離散型和連續型）的邊緣分布密度的方法。 5．知道隨機變量相互獨立的含義。知道隨機變量（離散型、連續型）是否相互獨立的條件。 二．考試內容 1．求隨機變量（包括離散型、連續型）的邊緣分布密度。 2．求離散型隨機變量的分布密度。 3．隨機變量的相互獨立性。 第七章隨機變量的函數及其分布 一．要求 掌握求一維隨機變量函數，二維隨機變量函數的分布密度的方法。 二．考試內容 1．求隨機變量函數的分布密度。 第八章隨機變量的數字特征 一．要求 1．知道隨機變量數字特征（數學期望、方差、標準差）的作用。 2．會求隨機變量的數學期望、方差、標準差。熟悉它們的基本性質。 3．熟悉正態分布和泊松分布的數學期望、方差。 二．考試內容 1．求隨機變量的數學期望。 2．求隨機變量的方差、標準差。 說明考試成績每部分各占三分之一。 選用教材意見 1．《工程數學：矢量分析與場論》，謝樹藝編，高等教育出版社出版（1985年3月第二版） 2．《工程數學：線性代數》，同濟大學數學教研室編，高等教育出版社出版（2003年7月第四版） 3．《工程數學：概率論》，同濟大學數學教研室主編，高等教育出版社出版（1982年10月第一版）